Torque

Introdução

Definição em módulo

Decomposição da força F em duas componentes: uma perpendicular ao vetor posição r, F_⊥; e outra paralela a ele. Somente a componente perpendicular da força produz rotação e, por consequência, é a única que produz torque.
Nesta imagem, o vetor torque aponta perpendicularmente ao plano em que ocorre a rotação, no sentido que "sai" da imagem.

A maçaneta de uma porta fica o mais longe possível das dobradiças por uma boa razão. Para abrir uma porta pesada, é tão necessário aplicar uma força de módulo suficientemente grande, quanto é aplicá-la na direção perpendicular à linha que liga a maçaneta às dobradiças. Se a força for aplicada mais perto das dobradiças que a maçaneta, ou com um ângulo diferente de 90º em relação ao plano da porta, será preciso usar uma força maior para abrir a porta que se a força for aplicada à maçaneta, perpendicularmente ao plano da porta.^[2]

Para determinar o modo como F provoca uma rotação do corpo em torno do eixo de rotação, podemos separar a força em duas componentes (figura ao lado). Uma dessas componentes, a componente radial F_||, tem a direção do vetor r. Essa componente não provoca rotações, já que age ao longo de uma reta que passa pelo ponto do qual se origina o vetor posição r. Isto é, se uma porta for puxada ou empurrada paralelamente ao seu plano, ela não vai girar. Já a componente tangencial, F_⊥, é perpendicular ao vetor posição. Essa componente, portanto, provoca rotações e tem módulo ${\displaystyle F_{\perp }=F\operatorname {sen}(\theta )}$. Isso equivale a puxar ou empurrar uma porta perpendicularmente a seu plano, o que provoca sua rotação.^[2]

A capacidade de F fazer um corpo girar não depende apenas do módulo da componente tangencial F_⊥, mas também da distância entre o ponto de aplicação de F e o ponto em que se origina o vetor r, isto é, do módulo desse vetor, cujo valor é ${\displaystyle r}$. Em uma interpretação simétrica, pode-se definir a componente de r ortogonal à força F (comumente denominada braço de alavanca), simbolizada por r_⊥ e cujo módulo é ${\displaystyle r_{\perp }=r\operatorname {sen}(\theta )}$.^[3] Para levar em conta os dois fatores, em ambas as interpretações, defini-se uma grandeza chamada de torque (${\displaystyle \tau }$) como o produto das duas grandezas de cada situação:^[2]

Definição de torque (módulo) ${\displaystyle \tau =rF_{\perp }=r_{\perp }F=rF\operatorname {sen}(\theta )}$

Definição vetorial

Relação dos vetores torque (${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$), força (${\displaystyle \mathbf {F} }$), momento linear (${\displaystyle \mathbf {p} }$), momento angular (${\displaystyle \mathbf {L} }$) e posição (${\displaystyle \mathbf {r} }$).

Inicialmente, defini-se o torque ${\displaystyle \tau }$ de um corpo rígido capaz de girar em torno de um eixo fixo, com todas as partículas do corpo sendo forçadas a se mover em trajetórias circulares com centro nesse eixo. Isto é, o movimento de cada partícula está contido em um plano específico. Para ampliar a definição de torque e o escopo de sua aplicação, de modo que uma partícula possa se mover em uma trajetória qualquer em relação a um ponto fixo (em vez de um eixo fixo) e que a trajetória não seja necessariamente circular, o torque será considerado não mais como um escalar, mas sim como um vetor. Com isso, define-se o torque como sendo o produto vetorial, respectivamente, entre o vetor posição ${\displaystyle \mathbf {r} }$ (referido a uma origem ${\displaystyle O}$) e a força aplicada ao corpo nessa posição ${\displaystyle \mathbf {F} }$:^[1]

Definição de torque (vetorial) ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mathbf {r} \times \mathbf {F} }$

Essa definição de torque, assim como qualquer outro produto vetorial, obedece a convenção dextrógira, isto é, a regra da mão direita.^[4] O produto vetorial é formalmente calculado de forma análoga a um determinante, cujas linhas são formadas pelos versores cartesianos e pelas componentes do vetor posição e do vetor força. Considerando ${\displaystyle \mathbf {r} =(x,y,z)}$, ${\displaystyle \mathbf {F} =(F_{x},F_{y},F_{z})}$, e ${\displaystyle \mathbf {i} }$, ${\displaystyle \mathbf {j} }$ e ${\displaystyle \mathbf {k} }$ como os vetores unitários, respectivamente, nas direções ${\displaystyle x}$, ${\displaystyle y}$ e ${\displaystyle z}$, obtém-se a seguinte expressão:^[5]

${\displaystyle \mathbf {r} \times \mathbf {F} ={\begin{vmatrix}\mathbf {i} &\mathbf {j} &\mathbf {k} \\x&y&z\\F_{x}&F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}}$

Portanto, usando o teorema de Laplace para o cálculo de determinantes, o torque exercido pode ser expresso, em componentes cartesianas, das seguintes formas:

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}={\begin{vmatrix}y&z\\F_{y}&F_{z}\end{vmatrix}}\mathbf {i} -{\begin{vmatrix}x&z\\F_{x}&F_{z}\end{vmatrix}}\mathbf {j} +{\begin{vmatrix}x&y\\F_{x}&F_{y}\end{vmatrix}}\mathbf {k} }$

${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=(yF_{z}-zF_{y})\mathbf {i} -(xF_{z}-zF_{x})\mathbf {j} +(xF_{y}-yF_{x})\mathbf {k} =(yF_{z}-zF_{y},zF_{x}-xF_{z},xF_{y}-yF_{x})}$

Unidades

A unidade de medida para o torque definida pelo Sistema Internacional de Unidades é o newton-metro. Ainda que matematicamente a ordem destes fatores, "newton" e "metros", seja indiferente, o BIPM (Bureau International des Poids et Mesures) especifica^[6] que a ordem deve ser N·m e não m·N.