Taxa marginal de substituição

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Em microeconomia, a taxa marginal de substituição do bem A pelo bem B, representado por TMgS (B,A), mede a taxa à qual o consumidor está propenso a substituir o bem A pelo bem B [1]. Em outras palavras, esta taxa mede uma troca: o número de unidades do bem B (adquiridas) por unidade do bem A (sacrificada), desde que a troca busca mantenha o mesmo nível de satisfação (utilidade) do consumidor.

Esse nível de satisfação é representado matematicamente por uma utilidade, cuja imagem gráfica é chamada de mapa de curvas de indiferença. Cada ponto pertencentes a uma mesma curva de indeferença representa uma cesta composta por diferentes quantidades dos bens A e B, porém todas as cestas de uma mesma curva de indiferença apresentam a mesma utilidade para o consumidor. Entretanto, a cada ponto da curva (cada cesta) corresponde uma distinta taxa marginal de substituição.

A TMgS referente a uma cesta é dada pelo valor da derivada no ponto da curva de indiferença que representa a aludida cesta de bens (inclinação da reta tangente à curva naquele ponto). Dessa forma, a TMgS possui valor diferente para cada cesta representada pela curva, exceto em curvas de indiferença de bens substitutos ou complementares perfeitos, onde a TMgS é (localmente) constante.

A taxa marginal de substituição depende da quantidade de cada bem que o consumidor possui no momento. Por princípio intuitivo, afirma-se que cada nova unidade de um determinado bem possui menos utilidade do que a unidade imediatamente anterior. Para compreender esse conceito, basta imaginar alguém "matando a sede": o primeiro copo d'água possui maior utilidade (satisfação) do que o segundo, este maior do que o terceiro, e assim por diante. Isso mostra que a utilidade de um bem é decrescente.

Análise matemática básica

Represente a função de utilidade como , onde U é a função de utilidade, x e y são bens. Adicionalmente:

= utilidade marginal com respeito ao bem x
= utilidade marginal com respeito ao bem y

Ao tomarmos a Diferencial total da função de utilidade, obtém-se:

, ou, substituindo,

Considerando a Derivada total da função de utilidade com respeito ao bem x,

, ou seja, .

Em qualquer ponto da curva de indiferença temos dU/dx = 0, porque U = c, onde c é uma constante. Então:

, rearrumando,

A taxa marginal de substituição é definida como menos a inclinação da curva de indiferença para qualquer cesta de bens que se considere (lado esquerdo da equação acima). Dessa maneira, ela se torna igual à razão entre as utilidades marginais de x e y:

.[2]