Economia matemática

A economia matemática é a aplicação de métodos matemáticos para representar teorias econômicas e analisar problemas propostos pela economia. Ela permite a formulação e derivação de relações chave em uma teoria com claridade, generalidade, rigor e simplicidade. Por convenção, os métodos se referem àqueles por trás da simples geometria, tais como cálculo diferencial e integral, equações diferenciais, álgebra matricial e programação matemática[1][2] e outros métodos computacionais.[3]

A matemática permite aos economistas formular proposições significativas e testáveis sobre muitos assuntos complexos e abrangentes que não poderiam ser adequadamente expressas informalmente. Além disso, a linguagem da matemática permite aos economistas fazer afirmações claras, específicas e positivas sobre assuntos controversos ou contenciosos que seriam impossíveis sem a matemática.[4] Grande parte da teoria econômica é atualmente apresentada em termos de modelos econômicos matemáticos, um conjunto de relações matemáticas estilizadas e simplificadas que clareiam suposições e implicações.[5]

Aplicações abrangentes incluem:

  • Problemas de otimização para alcançar o equilíbrio, seja de famílias, de firmas, ou de decisores políticos
  • Análise estática (ou de equilíbrio) na qual a unidade econômica (tal como uma família) ou sistema econômico (tal como um mercado ou a economia) é modelado como imobilizado, sem mudanças
  • estática comparativa de uma mudança de um equilíbrio para outro induzido por uma mudança em um ou mais fatores
  • Análise dinâmica, rastreando mudanças em um sistema econômico ao longo do tempo, por exemplo, pelo crescimento econômico.[1][6][7]

A modelagem econômica formal começou no século XIX com o uso de cálculo diferencial para representar e explicar o comportamento econômico, tais como a maximização da utilidade, uma aplicação da otimização matemática. A economia tornou-se mais matemática como uma disciplina durante a primeira metade do século XX, mas a introdução de técnicas novas e generalizadas no período por volta da Segunda Guerra Mundial, como na teoria dos jogos, expandiria ainda mais o uso de formulações matemáticas na economia.[8][7]

Essa rápida sistematização da economia assustou os críticos da disciplina bem como de alguns economistas notórios. John Maynard Keynes, Robert Heilbroner, Friedrich Hayek e outros criticaram o uso indiscriminado de modelos matemáticos do comportamento humano, argumentando que algumas escolhas humanas não são traduzíveis para a matemática.

História

O uso da matemática a serviço da análise social e econômica data de antes do século XVII. Principalmente nas universidades alemãs, um estilo de instrução emergiu, que lidava especificamente com a apresentação detalhada de dados como relacionados à administração pública. Gottfried Achenwall enveredou nesse estilo, cunhando o termo estatística. Ao mesmo tempo, um pequeno grupo de professores na Inglaterra estabeleceu um método de "raciocínio por números quanto às coisas relativas ao governo" e chamou esta prática de Political Arithmetick.[9] Sir William Petty escreveu sobre assuntos que mais tarde iriam receber atenção dos economistas, tais como taxação, velocidade da moeda e renda nacional, mas apesar de sua análise ser numérica, ele rejeitou a metodologia matemática abstrata. O uso de Petty de dados numéricos detalhados (junto com John Graunt) influenciaria estatísticos e economistas por algum tempo, apesar das obras de Petty terem sido amplamente ignoradas por acadêmicos ingleses.[10]

A matematização da economia começou de fato no século XIX. A maior parte da análise econômica da época era o que mais tarde se chamaria economia clássica. Os assuntos eram discutidos usando meios algébricos, mas o cálculo não era usado. Até a publicação de The Isolated State, de Johann Heinrich von Thünen, em 1826, os economistas não desenvolveram modelos explícitos e abstratos para o comportamento a fim de aplicar ferramentas da matemática. O modelo de Thünen para o uso da terra representa o primeiro exemplo da análise marginal.[11] A obra de Thünen foi em sua maior parte teórica, mas ele também buscou dados empíricos a fim de tentar dar suporte a suas generalizações. Em comparação com seus contemporâneos, Thünen construiu modelos e ferramentas econômicos, ao invés de apenas aplicar ferramentas já existentes a problemas novos.[12]

Enquanto isso, um novo grupo de estudiosos buscaram aprender os métodos matemáticos das ciências físicas, defendendo e aplicando esses métodos a seus campos.[13] Nesse grupo incluía-se W.S. Jevons, que apresentou um artigo sobre "teoria matemática geral da economia política" em 1862, fornecendo um resumo para uso da teoria da utilidade marginal na economia política.[14] Em 1871, ele publicou Os Princípios da Economia Política, declarando que o assunto, como ciência, "deve ser matematicamente simples, pois ela elida com quantidades". Jevons esperava que dados estatísticos de preços e quantidades permitiriam que seu campo se tornasse uma ciência exata.[15] Outros economistas o precederam e seguiram na expansão das representações matemáticas de problemas econômicos.

Os marginalistas e as raízes da economia neoclássica

Ver artigo principal: Revolução marginalista
Quantidades de equilíbrio como uma solução de duas funções de reação no duopólio de Cournot. Cada função de reação é expressa como uma equação linear dependente da quantidade demandada.

Augustin Cournot e Léon Walras construíram as ferramentas da disciplina axiomaticamente ao redor da utilidade, argumentando que os indivíduos buscam maximizar suas utilidades pelas escolhas de uma forma que poderia ser descrita matematicamente.[16] Na época, pensava-se que a utilidade era quantificável. Cournot, Walras e Francis Ysidro Edgeworth são considerados os precursores da moderna economia matemática.[17]

Augustin Cournot

Cournot, um professor de matemática, desenvolveu um tratamento matemático em 1838 para o duopólio - uma condição de mercado definida pela competição entre dois vendedores.[17] Esse tratamento de competição, publicado pela primeira vez em Researches into the Mathematical Principles of Wealth,[18] é chamado de duopólio de Cournot. Assume-se que ambos os vendedores possuem acesso igual ao mercado e que podem produzir seus bens sem custos. Além disso, assume-se que ambos os bens são homogêneos. Cada vendedor variaria sua produção baseado na produção do outro e o preço de mercado seria determinado pela quantidade total ofertada. O lucro de cada firma seria determinado pela multiplicação de sua produção pelo preço de mercado unitário. Diferenciando a função de lucro quanto à quantidade ofertada por cada firma levaria a um sistema de equações lineares, com uma solução simultânea que daria a quantidade, preço e lucros de equilíbrio.[19] As contribuições de Cournot para a matematização da economia seriam negligenciadas por décadas, mas posteriormente inflenciariam muitos dos marginalistas.[19][20] Os modelos de Cournot de duopólio e oligopólio também representam uma das primeiras formulações de jogo não-cooperativo. Atualmente, a solução pode ser considerada um equilíbrio de Nash, apesar de ter a obra de Cournot precedido a moderna teoria dos jogos em mais de 100 anos.[21]

Léon Walras

Enquanto Cournot forneceu uma solução para o que mais tarde seria chamado de equilíbrio parcial, Léon Walras tentou formalizar a discussão da economia como um todo através da teoria do equilíbrio geral. O comportamento de cada ator econômico seria considerado tanto do lado da produção quanto do lado do consumo. Walras originalmente apresentou quatro modelos separados de troca, cada um recursivamente incluído no próximo. A solução do sistema de equações resultante (tanto linear quanto não-linear) é o equilíbrio geral.[22] Na época, nenhuma solução geral poderia ser expressa para um sistema de muitas equações, mas as tentativas de Walras produziram dois resultados famosos na economia. O primeiro é a lei de Walras e o segundo é o princípio de tentativa e erro. O método de Walras era considerado altamente matemático para a época e Edgeworth comentou longamente sobre este fato em sua resenha de Éléments d'économie politique pure (Elementos da Economia Política Pura).[23]

A lei de Walras foi introduzida como uma resposta teórica ao problema de determinação das soluções no equilíbrio geral. Sua notação é diferente da notação moderna mas pode ser construída usando uma notação resumida mais moderna. Walras supunha que no equilíbrio, todo o dinheiro seria gasto com todos os bens: cada bem seria vendido a preço de mercado para aquele bem, e todo comprador gastaria até sua última moeda em uma cesta de bens. A partir dessa suposição, Walras poderia, então, mostrar que se existissem n mercados e n-1 mercados limpos (que alcançaram condições de equilíbrio), o n-ésimo mercado também estaria em equilíbrio. Isto é mais fácil de se visualizar com dois mercados (considerados em muitos textos como um mercado de bens e um merado de dinheiro). Se um dos dois mercados alcançasse um estado de equilíbrio, nenhum bem adicional (ou inversamente, dinheiro) poderia entrar ou sair do segundo mercado, assim ele deveria estar também em um estado de equilíbrio. Walras usou essa afirmação para provar a existência de soluções de equilíbrio geral mas atualmente é muito usada para ilustrar o equilíbrio em mercados de dinheiro a nível de graduação.[24]

Tâtonnement (em francês, para apalpando) foi usada como a expressão prática do equilíbrio geral walrasiano. Walras abstraiu o mercado como um leilão de bens onde o leiloeiro gritaria os preços e os participantes do mercado esperariam até que cada um deles pudesse satisfazer seus preços de reserva pessoais para a quantidade desejada (lembrando que se trata de um leilão com todos os bens, assim todos têm um preço de reserva para sua cesta desejada de bens).[25]

Apenas quando todos os compradores estivessem satisfeitos com o preço de mercado dado é que as transações ocorreriam. O mercado entraria em equilíbrio exatamente no preço - nenhum excedente ou escassez existiria. A palavra tâtonnement é usada para descrever as direções que o mercado toma apalpando para o equilíbrio, definindo preços mais altos ou baixos em diferentes bens até que um preço seja acordado para todos os bens. Apesar de o processo parecer dinâmico, Walras apresentou apenas um modelo estático, com nenhuma transação ocorrendo até que todos os mercados estivessem em equilíbrio. Na prática, muitos poucos mercados operam dessa maneira.[26]

Francis Ysidro Edgeworth

Edgeworth introduziu elementos matemáticos à economia explicitamente em Mathematical Psychics: An Essay on the Application of Mathematics to the Moral Sciences, publicado em 1881.[27] Ele adotou o cálculo da felicidade de Jeremy Bentham para o comportamento econômico, permitindo o resultado de cada de cisão ser convertido em uma mudança na utilidade.[28] Usando essa suposição, Edgeworth construiu um modelo de trocas com três suposições: os indivíduos são egoístas, os indivíduos agem para maximizar sua utilidade, e os indivíduos são "livres para recontratar com outros independentemente de qualquer terceira parte".[29]

Dados dois indivíduos, o conjunto de soluções em que ambos os indivíduos podem maximizar sua utilidade é descrito como a curva de contrato, no que hoje é conhecida como a caixa de Edgeworth. Tecnicamente, a construção da solução de duas pessoas do problema de Edgeworth não foi desenvolvida graficamente até 1924 por Arthur Lyon Bowley.[30] A curva de contrato da caixa de Edgeworth (ou, de modo mais geral, qualquer conjunto de soluções para o problema de Edgeworth com muitos atores) é chamada de núcleo de uma economia.[31]

Edgeworth dedicou um esforço considerável insistindo que as provas matemáticas era apropriadas para todas as escolas de pensamento na economia. Enquanto à frente do The Economic Journal, ele publicou alguns artigos criticando o rigor matemático dos pesquisadores rivais, incluindo Edwin Robert Anderson Seligman, um cético da economia matemática.[32] Os artigos focavam-se na incidência de impostos e nas respostas dos produtores. Edgeworth percebeu que um monopólio que produz um bem que tem ações coordenadas da oferta mas sem cooperação na demanda (tais como a primera classe e a econômica em um avião, se o avião voa, ambos conjuntos de assentos voam ao mesmo tempo) pode até diminuir o preço visto pelo consumidor para um ou dois produtos se o imposto fosse aplicado. De senso comum e mais tradicional, a análise numérica parecia indicar que isto era um absurdo. Seligman insistiam que os resultados que Edgeworth alcançou eram um truque de sua formulação matemática. Ele sugeriu que a suposição de uma função contínua de demanda e uma mudança infinitesimal nos impostos resultavam nas suposições paradoxicais. Harold Hotelling mais tarde mostrou que Edgeworth estava correto e que o mesmo resultado (uma "diminuição de preço como resultado do imposto") poderia ocorrer com uma função descontínua de demanda e grandes mudanças da na taxa de impostos.[33]