Econometria

Modelo econométrico básico: regressão linear

A ferramenta básica da econometria é o modelo de regressão linear (modelo clássico de regressão linear). Na econometria moderna, outras ferramentas estatísticas são frequentemente usadas, mas a regressão linear é, ainda, o ponto de partida mais frequente para a análise.

Um modelo, de uma forma geral, é um conjunto de distribuições conjuntas que satisfazem certos pressupostos. Um modelo clássico de regressão linear é um conjunto de distribuições conjuntas que satisfazem a quatro pressupostos^[2]:

1. Linearidade
2. Exogeneidade estrita
3. Ausência de multicolinearidade
4. Variância esférica dos erros

Assumindo uma variável dependente (a que se quer explicar) "Y" e um conjunto de "K" variáveis explicativas "X₁", "X₂", "X₃", ..., "X_K" (que explicam a variável dependente), podemos representar o modelo clássico de regressão linear de duas maneiras^[2]:

	Representação não matricial	Representação matricial
Modelo	${\displaystyle y_{i}=\beta _{1}*x_{i1}+\beta _{2}*x_{i2}+...+\beta _{k}*x_{iK}+u_{i}}$	${\displaystyle Y=X\beta +U}$
Em que	o subscrito "i" varia de 1 a n e representa o número de observações. ${\displaystyle u_{i}}$ é o erro não observado, que atende à propriedade de exogeneidade estrita: ${\displaystyle E(u_{i}|x_{1},x_{2},x_{3},...,xn)=0}$, ou seja, o erro não é correlacionado com nenhuma das variáveis do modelo.	Y é um vetor coluna com as "n" observações da variável "y", ou seja: ${\displaystyle Y={\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\\...\\y_{n}\end{bmatrix}}}$ X é uma matriz com "n" linhas e "K" colunas, representando as "n" observações e as "K" variáveis explicativas:${\displaystyle X={\begin{bmatrix}x_{11}&x_{12}&x_{13}&...&x_{1K}\\x_{21}&x_{22}&x_{23}&...&x_{2K}\\x_{31}&x_{32}&x_{33}&...&x_{3K}\\...\\x_{n1}&x_{n2}&x_{n13}&...&x_{nK}\end{bmatrix}}}$ β é um vetor coluna com os "K" coeficientes U é um vetor de erros não observáveis, que atende à propriedade da exogeneidade estrita: ${\displaystyle E(u_{i}|X)=0,i=1,2,...,n}$.
Se o modelo admite intercepto,	${\displaystyle x_{1}=1}$	A primeira coluna da matriz X é igual a 1, ou seja, ${\displaystyle X={\begin{bmatrix}1&x_{12}&x_{13}&...&x_{1K}\\1&x_{22}&x_{23}&...&x_{2K}\\1&x_{32}&x_{33}&...&x_{3K}\\...\\1&x_{n2}&x_{n13}&...&x_{nK}\end{bmatrix}}}$