Econometria

Econometria é um conjunto de ferramentas estatísticas com o objetivo de entender a relação entre variáveis econômicas através da aplicação de um modelo matemático.

A econometria nasceu como uma disciplina científica na década de 1930. Nos primeiros anos, a maioria das aplicações lidavam com questões macroeconômicas para ajudar governos e grandes empresas a tomar suas decisões de longo prazo. Atualmente a econometria é uma ferramenta indispensável para modelar a realidade em quase todas as disciplinas econômicas e de negócios.^[1]

Modelo econométrico básico: regressão linear

A ferramenta básica da econometria é o modelo de regressão linear (modelo clássico de regressão linear). Na econometria moderna, outras ferramentas estatísticas são frequentemente usadas, mas a regressão linear é, ainda, o ponto de partida mais frequente para a análise.

Um modelo, de uma forma geral, é um conjunto de distribuições conjuntas que satisfazem certos pressupostos. Um modelo clássico de regressão linear é um conjunto de distribuições conjuntas que satisfazem a quatro pressupostos^[2]:

Linearidade

Exogeneidade estrita

Ausência de multicolinearidade

Variância esférica dos erros

Assumindo uma variável dependente (a que se quer explicar) "Y" e um conjunto de "K" variáveis explicativas "X₁", "X₂", "X₃", ..., "X_K" (que explicam a variável dependente), podemos representar o modelo clássico de regressão linear de duas maneiras^[2]:

	Representação não matricial	Representação matricial
Modelo	$y_{i}=\beta _{1}x_{i1}+\beta _{2}x_{i2}+...+\beta _{k}*x_{iK}+u_{i}$	$Y=X\beta +U$
Em que	o subscrito "i" varia de 1 a n e representa o número de observações. $u_{i}$ é o erro não observado, que atende à propriedade de exogeneidade estrita: $E(u_{i}\|x_{1},x_{2},x_{3},...,xn)=0$ , ou seja, o erro não é correlacionado com nenhuma das variáveis do modelo.	Y é um vetor coluna com as "n" observações da variável "y", ou seja: $Y={\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\\...\\y_{n}\end{bmatrix}}$ X é uma matriz com "n" linhas e "K" colunas, representando as "n" observações e as "K" variáveis explicativas: $X={\begin{bmatrix}x_{11}&x_{12}&x_{13}&...&x_{1K}\\x_{21}&x_{22}&x_{23}&...&x_{2K}\\x_{31}&x_{32}&x_{33}&...&x_{3K}\\...\\x_{n1}&x_{n2}&x_{n13}&...&x_{nK}\end{bmatrix}}$ β é um vetor coluna com os "K" coeficientes U é um vetor de erros não observáveis, que atende à propriedade da exogeneidade estrita: $E(u_{i}\|X)=0,i=1,2,...,n$ .
Se o modelo admite intercepto,	$x_{1}=1$	A primeira coluna da matriz X é igual a 1, ou seja, $X={\begin{bmatrix}1&x_{12}&x_{13}&...&x_{1K}\\1&x_{22}&x_{23}&...&x_{2K}\\1&x_{32}&x_{33}&...&x_{3K}\\...\\1&x_{n2}&x_{n13}&...&x_{nK}\end{bmatrix}}$

Representação não matricial

Representação matricial

Modelo

$y_{i}=\beta _{1}*x_{i1}+\beta _{2}*x_{i2}+...+\beta _{k}*x_{iK}+u_{i}$

$Y=X\beta +U$

Em que

o subscrito "i" varia de 1 a n e representa o número de observações.
$u_{i}$ é o erro não observado, que atende à propriedade de exogeneidade estrita: $E(u_{i}|x_{1},x_{2},x_{3},...,xn)=0$ , ou seja, o erro não é correlacionado com nenhuma das variáveis do modelo.

Y é um vetor coluna com as "n" observações da variável "y", ou seja: $Y={\begin{bmatrix}y_{1}\\y_{2}\\y_{3}\\...\\y_{n}\end{bmatrix}}$
X é uma matriz com "n" linhas e "K" colunas, representando as "n" observações e as "K" variáveis explicativas: $X={\begin{bmatrix}x_{11}&x_{12}&x_{13}&...&x_{1K}\\x_{21}&x_{22}&x_{23}&...&x_{2K}\\x_{31}&x_{32}&x_{33}&...&x_{3K}\\...\\x_{n1}&x_{n2}&x_{n13}&...&x_{nK}\end{bmatrix}}$
β é um vetor coluna com os "K" coeficientes
U é um vetor de erros não observáveis, que atende à propriedade da exogeneidade estrita: $E(u_{i}|X)=0,i=1,2,...,n$ .

Se o modelo admite intercepto,

x_{1}=1

A primeira coluna da matriz X é igual a 1, ou seja,

X={\begin{bmatrix}1&x_{12}&x_{13}&...&x_{1K}\\1&x_{22}&x_{23}&...&x_{2K}\\1&x_{32}&x_{33}&...&x_{3K}\\...\\1&x_{n2}&x_{n13}&...&x_{nK}\end{bmatrix}}