Domínio (matemática)

Disambig grey.svg Nota: Não confundir com Domínio de integridade.
Ilustração mostrando , uma função do domínio rosa para o contradomínio azul . O oval amarelo dentro de é a imagem de . Tanto a imagem quanto o contradomínio são algumas vezes chamados de intervalo de .

Na matemática, e mais especificamente na teoria ingênua dos conjuntos, o domínio de definição (ou simplesmente o domínio) de uma função é o conjunto de valores de "entrada" ou argumento para os quais a função é definida. Ou seja, a função fornece uma "saída" ou valor para cada membro do domínio.[1] Por outro lado, o conjunto de valores que a função assume como saída é denominado imagem da função, o que às vezes também é chamado de intervalo da função.

Por exemplo, o domínio do cosseno é o conjunto de todos os números reais, enquanto o domínio da raiz quadrada consiste apenas em números maiores ou iguais a 0 (ignorando números complexos em ambos os casos).

Se o domínio de uma função é um subconjunto dos números reais e a função é representada em um sistema de coordenadas cartesianas, então o domínio é representado no eixo x.

Gráfico da função de raiz quadrada de valor real, , cujo domínio consiste em todos os números reais não-negativos.

Definição formal

Dada uma função , o conjunto é o domínio de ; o conjunto é o contradomínio de . Na expressão , é o argumento e é o valor. Pode-se pensar em um argumento como um membro do domínio que é escolhido como uma "entrada" para a função e o valor como a "saída" quando a função é aplicada a esse membro do domínio.

Se tratando de relações entre conjuntos. Seja uma relação de (domínio) em (contradomínio), então:[2][3]

e

A imagem (às vezes chamada de intervalo) de é o conjunto de todos os valores assumidos por para todos os possíveis ; este é o conjunto . A imagem de pode ser o mesmo conjunto que o contradomínio ou pode ser um subconjunto próprio dele. É, em geral, menor que o contradomínio; é o contradomínio inteiro se e somente se é uma função sobrejetiva.

Uma função bem definida deve mapear todos os elementos de seu domínio para um elemento de seu contradomínio. Por exemplo, a função definida por

não tem valor para . Assim, o conjunto de todos os números reais, , não pode ser o seu domínio. Em casos como este, a função é definida em ou o "espaço é ligado" definindo explicitamente . Se estendermos a definição de para

então é definido para todos os números reais, e seu domínio é .

Qualquer função pode ser restrita a um subconjunto de seu domínio. A restrição de a , onde , é escrita como .