Convexidade (economia)


Convexidade é um conceito estudado em microeconomia, na Teoria do consumidor, e diz o seguinte: as médias são preferíveis ao invés dos extremos. Exemplificando: com determinada renda (ou orçamento) o consumidor tem a possibilidade de adquirir dois bens, por exemplo. Ele pode ter 50 unidades do bem 1 e nenhuma do bem 2; ou 50 unidades do bem 2 e nenhuma do bem 1; ou pode obter 25 unidades de cada. De acordo com o pressuposto da convexidade, o consumidor ficará com a última opção, 25 unidades do bem 1 e 25 do bem 2, pois suas necessidades serão melhor atendidas com um pouco de cada bem, não com muito de um e nada de outro. O nome convexidade é dado por conta da forma convexa[1] das curvas de indiferença.

Convexidade é um tópico importante de economia.[1] No Modelo Arrow-Debreu do equilíbrio econômico geral, os agentes têm conjuntos orçamentários convexos e preferências convexas: Nos preços de equilíbrio, o hiperplano do orçamento contém a melhor curva de indiferença possível.[2] A função de lucro é o conjugado convexo da função de custo.[1][2] A análise convexa é a ferramenta padrão para analisar livros-texto de economia.[1] Fenômenos não-convexos na economia têm sido estudados com a "análise não suavizada", que generaliza a análise convexa.[3]

Preliminares

A economia depende das seguintes definições e resultados da geometria convexa.

Espaços vetoriais reais

Um conjunto convexo cobre o segmento de reta conectando dois de quaisquer de seus pontos.
Um conjunto não-convexo não consegue cobrir um ponto em um segmento de reta juntando dois de seus pontos.

Em um espaço vetorial real de duas dimensões pode ser definido um sistema de coordenadas cartesiano no qual todo ponto é identificado por uma lista de dois números reais, chamados de "coordenadas", que são denotados por convenção de x e y. Dois pontos no plano cartesiano podem ser somados como coordenadas

(x1y1) + (x2y2) = (x1+x2, y1+y2);

Além disso, um ponto pode ser multiplicado por cada número real λ como coordenadas

λ (xy) = (λx, λy).

De modo mais geral, qualquer espaço vetorial real de dimensões (finitas) D pode ser visto como um conjunto de todas as possíveis listas de D números reais { (v1, v2, . . . , vD) } juntos com duas operações: adição vetorial e multiplicação por um número real. Para espaços vetoriais com dimensões finitas, as operações de adição de vetores e multiplicação por números reais podem ser definidas em termos de coordenadas, seguindo o exemplo do plano cartesiano.

Conjuntos convexos

Na envoltória convexa do conjunto vermelho, cada ponto azul é uma combinação convexa de alguns pontos vermelhos.

Em um espaço vetorial real, um conjunto é definido ser convexo se, para cada par de seus pontos, todo ponto no segmento de reta que as junta é coberta pelo conjunto. Por exemplo, um cubo sólido é convexo. No entanto, qualquer coisa que é oca ou com relevo, por exemplo, uma forma crescente, é não-convexa. Por sua vez, o conjunto vazio é convexo.

Mais formalmente, um conjunto Q é convexo se, para todos os pontos, v0 and v1 in Q e para cada número real λ no intervalo unitário [0,1], o ponto

(1 − λv0 + λv1

é um elemento de Q.

Por indução matemática, um conjunto Q é convexo se e somente se toda combinação convexa dos elementos de Q também pertence a Q. Por definição, uma combinação convexa de um subconjunto indexado {v0v1, . . . , vD} de um espaço vetorial é qualquer média ponderada λ0v0 + λ1v1 + . . . + λDvD, para algum conjunto indexado de números reais não-negativos {λd} que satisfazem a equação λ0 + λ1 + . . .  + λD = 1

A definição de um conjunto convexo implica que a intersecção de dois conjuntos convexos é um conjunto convexo. De um modo mais geral, a intersecção de uma família de conjuntos convexos é um conjunto convexo.

Envoltória convexa

Ver artigo principal: Envoltória convexa

Para todo subconjunto Q de um espaço vetorial real, sua envoltória convexa Conv(Q) é o conjunto convexo mínimo que contém Q. Assim, Conv(Q) é a intersecção de todos os conjuntos convexos que cobre Q. A envoltória convexa de um conjunto pode ser equivalentemente definido como o conjunto de todas as combinações convexas de pontos em Q.