Axioma
English: Axiom

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Na lógica tradicional, um axioma ou postulado é uma sentença ou proposição que não é provada ou demonstrada e é considerada como óbvia ou como um consenso inicial necessário para a construção ou aceitação de uma teoria. Por essa razão, é aceito como verdade e serve como ponto inicial para dedução de outras verdades (dependentes de teoria).

Na matemática, um axioma é uma hipótese inicial de qual outros enunciados são logicamente derivados. Pode ser uma sentença, uma proposição, um enunciado ou uma regra que permite a construção de um sistema formal. Diferentemente de teoremas, axiomas não podem ser derivados por princípios de dedução e nem são demonstráveis por derivações formais, simplesmente porque eles são hipóteses iniciais. Isto é, não há mais nada a partir do que eles seguem lógicamente (em caso contrário eles seriam chamados teoremas). Em muitos contextos, "axioma", "postulado" e "hipótese" são usados como sinônimos.

Como foi visto na definição, um axioma não é necessariamente uma verdade autoevidente, mas apenas uma expressão lógica formal usada em uma dedução, visando obter resultados mais facilmente. Axiomatizar um sistema é mostrar que suas inferências podem ser derivadas a partir de um pequeno e bem definido conjunto de sentenças. Isto não significa que elas possam ser conhecidas independentemente, e tipicamente existem múltiplos meios para axiomatizar um dado sistema (como a aritmética). A matemática distingue dois tipos de axiomas: axiomas lógicos e axiomas não-lógicos.

Nas teorias das ciências naturais, um axioma é considerado uma verdade evidente que e é aceita como tal mas que ao rigor da palavra não pode ser demonstrado ou provado uma verdade absoluta dentro do domínio de sua aplicação; é geralmente derivado de intuição ou de conhecimento empírico, os quais apoiam-se em todos os fatos científicos até então conhecidos e relevantes à área em estudo. A viabilidade ou utilidade de tais teorias, e a classificação das mesmas como teorias científicas válidas ou já aprimoradas, todas sempre logicamente derivadas de forma correta de suas premissas (dos axiomas), dependem das escolhas acuradas de seus axiomas e da corroboração dos mesmos frente aos fatos científicos conhecidos na época em que foram propostos, e frente aos que forem gradualmente descobertos em épocas futuras às suas proposições. Fatos novos, ao serem descobertos, podem levar à evolução das teorias mediante necessidade explicita de modificações em seus axiomas, que, conforme propostos no paradigma científico evoluído e ora válido, devem manter-se sempre corroborados pela íntegra dos fatos científicos conhecidos até a data em questão.

Na engenharia, axiomas são aceitos sem provas formais e suas escolhas são negociadas a partir do ponto de vista utilitário e econômico. Podem também ser considerados como hipóteses na modelagem e mudados depois da validação do modelo.

Declarações explícitas de axiomas é uma condição necessária para a computabilidade de uma teoria, modelo ou método. Neste caso, o axioma pode ser visto como um conceito relativo dependente de domínio, por exemplo, em cada programa de software, declarações iniciais podem ser consideradas como seus axiomas locais.

Etimologia

A palavra "axioma" vem da palavra grega ἀξίωμα (axioma), um substantivo verbal[1] do verbo ἀξιόειν (axioein), que significa "considerar valido", mas também "requerer", que por sua vez vem da palavra ἄξιος (axios), que significa "estar em equilíbrio", e portanto "ter (o mesmo) valor (de)", "valido", "apropriado". Entre os filósofos da Grécia Antiga, um axioma era uma afirmação que poderia ser vista como verdade sem nenhuma necessidade de provas.

O significado original da palavra "postular" é "exigir"; por exemplo, Euclides exige que concordemos que certas coisas podem ser feitas, ex: quaisquer dois pontos podem ser unidos por uma linha reta, etc.[2]

Os antigos geômetras mantiveram alguma distinção entre axiomas e postulados. Ao comentar os livros de Euclides, Proclo adverte que " Geminus[3] considerou que este [4º] Postulado não deve ser classificado como um postulado e sim como um axioma, já que, diferente dos três primeiros Postulados, ele não declara a possibilidade de alguma construção mas sim expressa uma propriedade essencial".[4] Boécio traduziu "postulado" como petitio e chamou os axiomas de notiones communes, mas em manuscritos posteriores esse uso nem sempre foi estritamente mantido.